🔢 Suites Numériques

Définition : Suite où la différence entre deux termes consécutifs est constante. Formules : • Terme général : uₙ = u₁ + (n-1) × r • Raison : r = uₙ₊₁ - uₙ • Somme des n premiers termes : Sₙ = n × (u₁ + uₙ) / 2 ou Sₙ = n × (2u₁ + (n-1)r) / 2 Où : • uₙ = terme de rang n • u₁ = premier terme • r = raison (différence commune) • n = rang du terme Exemple : Suite : 2, 5, 8, 11, 14, 17, ... • u₁ = 2 • r = 3 (5-2 = 8-5 = 11-8 = 3) • u₁₀ = 2 + (10-1) × 3 = 2 + 27 = 29 • S₁₀ = 10 × (2 + 29) / 2 = 155 Reconnaissance : Si uₙ₊₁ - uₙ = constante → Suite arithmétique

Définition : Suite où le rapport entre deux termes consécutifs est constant. Formules : • Terme général : uₙ = u₁ × qⁿ⁻¹ • Raison : q = uₙ₊₁ / uₙ • Somme des n premiers termes (q ≠ 1) : Sₙ = u₁ × (1 - qⁿ) / (1 - q) ou Sₙ = u₁ × (qⁿ - 1) / (q - 1) • Somme infinie (|q| < 1) : S∞ = u₁ / (1 - q) Où : • uₙ = terme de rang n • u₁ = premier terme • q = raison (rapport commun) • n = rang du terme Exemple : Suite : 2, 6, 18, 54, 162, ... • u₁ = 2 • q = 3 (6/2 = 18/6 = 54/18 = 3) • u₁₀ = 2 × 3⁹ = 2 × 19 683 = 39 366 • S₁₀ = 2 × (3¹⁰ - 1) / (3 - 1) = 2 × 59 048 = 59 048 Reconnaissance : Si uₙ₊₁ / uₙ = constante → Suite géométrique

Définition : Suite où chaque terme est la somme des deux termes précédents. Formule récurrente : • Fₙ = Fₙ₋₁ + Fₙ₋₂ • Conditions initiales : F₀ = 0, F₁ = 1 Formule de Binet (terme général) : Fₙ = [φⁿ - (1-φ)ⁿ] / √5 Où φ = (1 + √5) / 2 ≈ 1,618 (nombre d'or) Exemple : Suite : 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ... • F₀ = 0 • F₁ = 1 • F₂ = 0 + 1 = 1 • F₃ = 1 + 1 = 2 • F₄ = 1 + 2 = 3 • F₅ = 2 + 3 = 5 • ... Propriétés : • Rapport de termes consécutifs → nombre d'or Fₙ₊₁ / Fₙ → φ quand n → ∞ • Somme des n premiers termes : Σ Fᵢ = Fₙ₊₂ - 1 • F₃ₙ est divisible par 2 • F₄ₙ est divisible par 3 • F₅ₙ est divisible par 5

Suites Arithmétiques : • Finance : Épargne avec dépôts réguliers fixes • Physique : Mouvement uniformément accéléré • Vie quotidienne : Numérotation des sièges dans un théâtre • Calendrier : Jours d'un mois Suites Géométriques : • Finance : Intérêts composés, inflation • Biologie : Croissance de populations (bactéries) • Physique : Décroissance radioactive, réflexions de la lumière • Informatique : Algorithmes récursifs, complexité • Économie : PIB en croissance constante Suite de Fibonacci : • Biologie : Disposition des pétales de fleurs, spirales de coquillages • Botanique : Arrangement des feuilles (phyllotaxie) • Architecture : Proportions du Parthénon • Art : Rectangle d'or, spirale de Fibonacci • Nature : Reproduction des lapins (problème original) • Informatique : Algorithmes de recherche

Suite Arithmétique : • r > 0 : diverge vers +∞ • r < 0 : diverge vers -∞ • r = 0 : converge (suite constante) Suite Géométrique : • |q| < 1 : converge vers 0 • q = 1 : converge (suite constante) • q > 1 : diverge vers +∞ • q < -1 : diverge (oscille) • q = -1 : oscille entre u₁ et -u₁ Suite de Fibonacci : • Diverge vers +∞ • Mais le rapport Fₙ₊₁/Fₙ converge vers φ (nombre d'or)