Probabilité cumulative P(Z ≤ z) pour la loi normale standard
Guide du Score Z
Qu'est-ce que le Score Z ?
Le score z (ou cote z) est une mesure statistique qui indique combien d'écarts-types une valeur donnée se situe par rapport à la moyenne d'une distribution. C'est un nombre sans dimension qui permet de standardiser des données et de comparer des valeurs provenant de distributions différentes.
Formule du Score Z
Formule de base :
z = (x - μ) / σ
Où :
• z = score z (z-score)
• x = valeur brute (observation)
• μ = moyenne de la population (mu)
• σ = écart-type de la population (sigma)
Interprétation :
• z = 0 : la valeur est égale à la moyenne
• z > 0 : la valeur est au-dessus de la moyenne
• z < 0 : la valeur est en-dessous de la moyenne
• |z| = 1 : la valeur est à 1 écart-type de la moyenne
• |z| = 2 : la valeur est à 2 écarts-types de la moyenne
Interprétation des Z-Scores
Z-Score
Position
Percentile Approximatif
Rareté
-3.0
3 σ sous la moyenne
0,13%
Très rare
-2.0
2 σ sous la moyenne
2,28%
Rare
-1.0
1 σ sous la moyenne
15,87%
Courant
0.0
À la moyenne
50%
Médian
+1.0
1 σ au-dessus
84,13%
Courant
+2.0
2 σ au-dessus
97,72%
Rare
+3.0
3 σ au-dessus
99,87%
Très rare
Règle Empirique (68-95-99,7)
Pour une distribution normale :
• 68% des valeurs sont dans l'intervalle [-1σ, +1σ] (z entre -1 et +1)
• 95% des valeurs sont dans l'intervalle [-2σ, +2σ] (z entre -2 et +2)
• 99,7% des valeurs sont dans l'intervalle [-3σ, +3σ] (z entre -3 et +3)
Autrement dit :
• P(-1 < z < 1) = 0,6827 ≈ 68%
• P(-2 < z < 2) = 0,9545 ≈ 95%
• P(-3 < z < 3) = 0,9973 ≈ 99,7%
Exemples de Calcul
Exemple 1 : Score d'examen
Un étudiant obtient 85/100 à un examen.
Moyenne de la classe : μ = 70
Écart-type : σ = 10
z = (85 - 70) / 10 = 15 / 10 = 1,5
Interprétation : Le score est 1,5 écart-type au-dessus de la moyenne.
L'étudiant se situe au 93,3e percentile (meilleur que 93,3% de la classe).
Exemple 2 : Taille d'une personne
Taille d'un homme : x = 190 cm
Taille moyenne : μ = 175 cm
Écart-type : σ = 8 cm
z = (190 - 175) / 8 = 15 / 8 = 1,875
Interprétation : Cette personne est 1,875 écart-type au-dessus de la moyenne.
Elle est plus grande que environ 97% de la population.
Exemple 3 : Temps de réaction
Temps de réaction : x = 0,18 seconde
Moyenne : μ = 0,25 seconde
Écart-type : σ = 0,05 seconde
z = (0,18 - 0,25) / 0,05 = -0,07 / 0,05 = -1,4
Interprétation : Le temps de réaction est 1,4 écart-type en-dessous de la moyenne.
Cette personne est plus rapide que environ 92% de la population.
Applications du Score Z
Éducation :
• Standardisation des notes d'examens
• Comparaison de performances entre différentes classes
• Identification des étudiants exceptionnels
Psychologie et Médecine :
• Tests de QI (moyenne 100, écart-type 15)
• Courbes de croissance (poids, taille des enfants)
• Valeurs biologiques (tension, cholestérol)
Finance :
• Analyse d'anomalies dans les données financières
• Détection de valeurs aberrantes
• Évaluation de risques
Contrôle Qualité :
• Six Sigma (réduire les défauts à ±6σ)
• Cartes de contrôle statistique
• Détection de processus hors contrôle
Recherche Scientifique :
• Tests d'hypothèses
• Intervalles de confiance
• Comparaison de groupes expérimentaux
Loi Normale Standard
Une loi normale standard est une distribution normale avec moyenne μ = 0 et écart-type σ = 1. Toute distribution normale peut être transformée en loi normale standard en calculant les z-scores de toutes ses valeurs.
Propriétés :
Symétrique autour de zéro
Forme de cloche (courbe de Gauss)
Aire totale sous la courbe = 1
Permet de calculer des probabilités facilement
Comment Utiliser la Table Z
Lecture de la table Z :
1. La table donne P(Z ≤ z), la probabilité qu'une valeur soit inférieure ou égale à z
2. Pour z = 1,50 :
- Cherchez 1,5 dans la première colonne
- Cherchez 0,00 dans la première ligne
- L'intersection donne 0,9332
- Donc P(Z ≤ 1,50) = 0,9332 = 93,32%
3. Pour z négatif :
- Utilisez la symétrie : P(Z ≤ -z) = 1 - P(Z ≤ z)
- Exemple : P(Z ≤ -1,50) = 1 - 0,9332 = 0,0668
4. Pour P(Z > z) :
- P(Z > z) = 1 - P(Z ≤ z)
- Exemple : P(Z > 1,50) = 1 - 0,9332 = 0,0668