Comprendre les racines
Une racine est l'opération inverse de l'élévation à une puissance. La racine n-ième
d'un nombre x est le nombre qui, élevé à la puissance n, donne x.
📐 Définitions
Racine carrée : √x = a ⟺ a² = x
Exemple : √16 = 4 car 4² = 16
Racine cubique : ∛x = a ⟺ a³ = x
Exemple : ∛27 = 3 car 3³ = 27
Racine n-ième : ⁿ√x = a ⟺ aⁿ = x
Exemple : ⁴√81 = 3 car 3⁴ = 81
🔢 Propriétés des racines
| Propriété |
Formule |
Exemple |
| Produit de racines |
√(a × b) = √a × √b |
√(4 × 9) = √4 × √9 = 2 × 3 = 6 |
| Quotient de racines |
√(a ÷ b) = √a ÷ √b |
√(16 ÷ 4) = √16 ÷ √4 = 4 ÷ 2 = 2 |
| Puissance d'une racine |
√(aⁿ) = aⁿ/² |
√(5²) = 5²/² = 5 |
| Racine d'une racine |
ⁿ√(ᵐ√x) = ⁿˣᵐ√x |
∛(√64) = ⁶√64 = 2 |
| Notation exponentielle |
ⁿ√x = x^(1/n) |
∛8 = 8^(1/3) = 2 |
📊 Valeurs courantes de racines carrées
| Nombre |
Racine carrée |
Nombre |
Racine carrée |
| 1 |
1 |
49 |
7 |
| 4 |
2 |
64 |
8 |
| 9 |
3 |
81 |
9 |
| 16 |
4 |
100 |
10 |
| 25 |
5 |
121 |
11 |
| 36 |
6 |
144 |
12 |
∛ Valeurs courantes de racines cubiques
| Nombre |
Racine cubique |
Nombre |
Racine cubique |
| 1 |
1 |
64 |
4 |
| 8 |
2 |
125 |
5 |
| 27 |
3 |
216 |
6 |
🎯 Simplification des racines carrées
Pour simplifier une racine carrée, on cherche le plus grand carré parfait qui divise le nombre.
Méthode :
1. Décomposer le nombre en facteurs premiers
2. Regrouper les facteurs par paires
3. Sortir chaque paire de la racine
Exemple : Simplifier √72
72 = 2³ × 3² = 2² × 2 × 3²
√72 = √(2² × 2 × 3²) = 2 × 3 × √2 = 6√2
💡 Applications pratiques
- Géométrie : Calcul de la diagonale d'un carré (d = a√2)
- Théorème de Pythagore : c = √(a² + b²)
- Physique : Vitesse quadratique moyenne en thermodynamique
- Finance : Écart-type et volatilité (racine de la variance)
- Ingénierie : Calculs de résistance et d'optimisation
- Informatique : Algorithmes de recherche et complexité O(√n)
🔬 Racines et nombres complexes
Dans l'ensemble des nombres réels, la racine carrée d'un nombre négatif n'existe pas.
Cependant, dans l'ensemble des nombres complexes, √(-1) = i (l'unité imaginaire).
√(-4) = √(4 × -1) = √4 × √(-1) = 2i
√(-9) = √(9 × -1) = √9 × √(-1) = 3i
📈 Méthode de calcul manuel
Méthode de Babylone (ou méthode de Héron) pour calculer √S :
- Choisir une estimation initiale x₀
- Calculer x₁ = (x₀ + S/x₀) / 2
- Répéter : xₙ₊₁ = (xₙ + S/xₙ) / 2
- Continuer jusqu'à convergence
Exemple : Calculer √10
x₀ = 3 (estimation)
x₁ = (3 + 10/3) / 2 = 3.166667
x₂ = (3.166667 + 10/3.166667) / 2 = 3.162281
x₃ = (3.162281 + 10/3.162281) / 2 = 3.162278
√10 ≈ 3.162278 (valeur exacte avec 6 décimales)
❓ Questions fréquentes
Quelle est la différence entre √x et ±√x ?
Le symbole √x désigne uniquement la racine carrée positive (racine principale).
L'équation x² = 16 a deux solutions : x = ±4 (plus ou moins 4), mais √16 = 4 uniquement.
Si on veut les deux solutions, on écrit explicitement ±√16.
Peut-on calculer la racine carrée d'un nombre négatif ?
Dans les nombres réels, non. √(-4) n'a pas de solution réelle. Cependant, dans les nombres
complexes, √(-4) = 2i, où i est l'unité imaginaire (i² = -1). Les racines cubiques de nombres
négatifs existent dans les réels : ∛(-8) = -2.
Comment simplifier les racines carrées ?
Trouvez le plus grand carré parfait qui divise le nombre. Par exemple, pour √50 :
50 = 25 × 2, donc √50 = √(25 × 2) = √25 × √2 = 5√2. Utilisez l'onglet "Simplifier √"
pour obtenir la forme simplifiée automatiquement.
Quelle est la relation entre racines et exposants ?
Une racine n-ième est équivalente à un exposant fractionnaire : ⁿ√x = x^(1/n).
Par exemple, √x = x^(1/2), ∛x = x^(1/3), et ⁴√x = x^(1/4). Cette notation permet
d'utiliser les règles des exposants pour manipuler les racines.
√0 est-il défini ?
Oui, √0 = 0. C'est le seul nombre dont la racine carrée est égale au nombre lui-même
(avec 1). De même, ∛0 = 0, et toute racine n-ième de 0 vaut 0.
Comment calculer des racines sans calculatrice ?
Utilisez la méthode de Babylone (décrite ci-dessus) pour une approximation précise,
ou mémorisez les carrés parfaits courants (1, 4, 9, 16, 25, ..., 144, 169, 196, 225).
Pour une estimation rapide, trouvez les deux carrés parfaits qui encadrent le nombre.