📖 Guide Complet des Puissances et Exposants
Qu'est-ce qu'une puissance ?
Une puissance exprime la multiplication répétée d'un nombre par lui-même. On écrit ab où :
- a = base (le nombre à multiplier)
- b = exposant (le nombre de fois)
Définition :
an = a × a × a × ... × a (n fois)
Exemples :
23 = 2 × 2 × 2 = 8
54 = 5 × 5 × 5 × 5 = 625
102 = 10 × 10 = 100
Cas particuliers
| Cas |
Règle |
Exemple |
| a0 | Toujours égal à 1 | 50 = 1 |
| a1 | Égal à a | 71 = 7 |
| 0n (n>0) | Égal à 0 | 05 = 0 |
| 1n | Toujours égal à 1 | 1100 = 1 |
| (-a)n pair | Résultat positif | (-2)4 = 16 |
| (-a)n impair | Résultat négatif | (-2)3 = -8 |
Les 7 lois des exposants
1. Multiplication de même base :
am × an = a(m+n)
Exemple : 23 × 24 = 27 = 128
2. Division de même base :
am / an = a(m-n)
Exemple : 56 / 52 = 54 = 625
3. Puissance d'une puissance :
(am)n = a(m×n)
Exemple : (32)3 = 36 = 729
4. Puissance d'un produit :
(a × b)n = an × bn
Exemple : (2 × 3)2 = 22 × 32 = 4 × 9 = 36
5. Puissance d'un quotient :
(a / b)n = an / bn
Exemple : (6 / 2)3 = 63 / 23 = 216 / 8 = 27
6. Exposant négatif :
a-n = 1 / an
Exemple : 2-3 = 1 / 23 = 1/8 = 0,125
7. Exposant fractionnaire :
a(m/n) = n√(am)
Exemple : 8(1/3) = ∛8 = 2
Racines
Une racine est l'opération inverse de la puissance.
Racine carrée (√) :
√a = a(1/2)
Si √a = b, alors b2 = a
Exemple : √16 = 4 car 42 = 16
Racine cubique (∛) :
∛a = a(1/3)
Si ∛a = b, alors b3 = a
Exemple : ∛27 = 3 car 33 = 27
Racine n-ième (n√) :
n√a = a(1/n)
Si n√a = b, alors bn = a
Exemple : 4√16 = 2 car 24 = 16
Propriétés des racines
√(a × b) = √a × √b
√(a / b) = √a / √b
n√(am) = a(m/n)
(n√a)m = a(m/n)
n√(m√a) = (n×m)√a
Puissances de 10 (notation scientifique)
| Puissance |
Valeur |
Nom |
| 10-6 | 0,000001 | micro |
| 10-3 | 0,001 | milli |
| 100 | 1 | unité |
| 103 | 1 000 | kilo |
| 106 | 1 000 000 | méga |
| 109 | 1 000 000 000 | giga |
| 1012 | 1 000 000 000 000 | téra |
Carrés parfaits courants
| n |
n² |
n |
n² |
| 1 | 1 | 11 | 121 |
| 2 | 4 | 12 | 144 |
| 3 | 9 | 13 | 169 |
| 4 | 16 | 14 | 196 |
| 5 | 25 | 15 | 225 |
| 6 | 36 | 20 | 400 |
| 7 | 49 | 25 | 625 |
| 8 | 64 | 50 | 2500 |
| 9 | 81 | 100 | 10000 |
| 10 | 100 | 1000 | 1000000 |
Applications pratiques
1. Croissance exponentielle
- Population : P(t) = P₀ × (1 + r)t
- Intérêts composés : A = P(1 + r)n
- Épidémies : nombre de cas × 2n
2. Physique
- Énergie cinétique : E = ½mv2
- Surface du cercle : A = πr2
- Volume de la sphère : V = (4/3)πr3
- Loi du carré inverse : intensité ∝ 1/d2
3. Informatique
- Stockage : 210 = 1024 octets (1 Ko)
- Adresses IPv4 : 232 = 4,3 milliards
- Complexité algorithmique : O(n2), O(2n)
4. Finance
- Règle de 72 : temps de doublement ≈ 72 / taux
- Valeur future : VF = VA × (1 + i)n
- Rendement composé
Exemples pratiques
Exemple 1 : Épargne avec intérêts composés
Vous placez 1000€ à 5% par an pendant 10 ans. Combien aurez-vous ?
A = P × (1 + r)n
A = 1000 × (1,05)10
A = 1000 × 1,6289
A = 1628,89€
Exemple 2 : Surface d'un terrain circulaire
Un terrain a un rayon de 20m. Quelle est sa surface ?
A = πr2
A = π × 202
A = π × 400
A ≈ 1256,64 m²
Exemple 3 : Simplifier avec les lois
Simplifier : (25 × 23) / 24
= 2(5+3) / 24
= 28 / 24
= 2(8-4)
= 24
= 16
Questions fréquentes
Pourquoi a0 = 1 ?
C'est une convention mathématique cohérente avec la loi am/an = a(m-n). Si m = n, alors am/am = 1, et (m-n) = 0, donc a0 = 1.
Peut-on avoir un exposant négatif ?
Oui ! a-n = 1/an. C'est l'inverse de la puissance positive. Exemple : 2-3 = 1/8.
Quelle est la différence entre √(-16) et (-4)² ?
(-4)² = 16 (positif). Mais √(-16) n'existe pas dans les nombres réels (c'est un nombre imaginaire 4i).
Comment calculer un exposant fractionnaire ?
a(m/n) = n√(am). Exemple : 8(2/3) = ∛(82) = ∛64 = 4.
Que signifie 23,5 ?
C'est 2(7/2) = √(27) = √128 ≈ 11,31.