Guide des Permutations et Combinaisons
Qu'est-ce que l'analyse combinatoire ?
L'analyse combinatoire est la branche des mathématiques qui étudie le dénombrement, l'arrangement et la sélection d'objets. Elle permet de calculer le nombre de façons différentes d'organiser ou de choisir des éléments selon certaines règles.
Différence Principale
✓ PERMUTATIONS
L'ordre compte
AB ≠ BA
Exemple : Podium de course (1er, 2e, 3e)
✓ COMBINAISONS
L'ordre ne compte pas
AB = BA
Exemple : Équipe de 5 joueurs
Formules Principales
FACTORIELLE :
n! = n × (n-1) × (n-2) × ... × 2 × 1
0! = 1 (par convention)
Exemples :
• 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120
• 3! = 3 × 2 × 1 = 6
PERMUTATIONS sans répétition :
P(n, r) = nPr = n! / (n-r)!
Cas particulier : Permutations de n éléments distincts
P(n) = n!
PERMUTATIONS avec répétition :
P = n^r
COMBINAISONS sans répétition :
C(n, r) = nCr = n! / (r! × (n-r)!)
Aussi noté : (n r) ou "n parmi r"
COMBINAISONS avec répétition :
C = (n+r-1)! / (r! × (n-1)!)
Exemples Détaillés
Exemple 1 : Permutations (podium)
Problème : 6 coureurs en finale. Combien de podiums différents (1er, 2e, 3e) ?
Données :
• n = 6 coureurs
• r = 3 places sur le podium
• L'ordre compte (1er ≠ 2e)
Calcul :
P(6,3) = 6! / (6-3)!
= 6! / 3!
= (6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1) / (3 × 2 × 1)
= 720 / 6
= 120 podiums différents
Exemple 2 : Combinaisons (équipe)
Problème : Choisir 5 joueurs parmi 11 pour l'équipe de départ.
Données :
• n = 11 joueurs disponibles
• r = 5 joueurs à choisir
• L'ordre ne compte pas
Calcul :
C(11,5) = 11! / (5! × (11-5)!)
= 11! / (5! × 6!)
= (11 × 10 × 9 × 8 × 7 × 6!) / (5! × 6!)
= (11 × 10 × 9 × 8 × 7) / (5 × 4 × 3 × 2 × 1)
= 55440 / 120
= 462 équipes possibles
Exemple 3 : Code PIN (avec répétition)
Problème : Combien de codes PIN à 4 chiffres possibles ?
Données :
• n = 10 chiffres (0 à 9)
• r = 4 positions
• Répétition autorisée
• L'ordre compte (1234 ≠ 4321)
Calcul :
P = n^r = 10^4 = 10 000 codes possibles
Propriétés et Relations
Propriétés des combinaisons :
• C(n, r) = C(n, n-r)
Exemple : C(10, 3) = C(10, 7) = 120
Choisir 3 parmi 10 = Exclure 7 parmi 10
• C(n, 0) = C(n, n) = 1
Il n'y a qu'une façon de ne rien choisir ou tout choisir
• C(n, 1) = n
Choisir 1 parmi n donne n possibilités
Relation permutations-combinaisons :
P(n, r) = C(n, r) × r!
Les permutations incluent toutes les combinaisons multipliées
par les arrangements de chaque combinaison.
Tableau de Référence
| Type |
Formule |
Ordre compte ? |
Répétition ? |
Exemple |
| Permutations simples |
n! |
Oui |
Non |
Anagrammes de "ABC" |
| Arrangements |
n! / (n-r)! |
Oui |
Non |
Top 3 sur 10 finalistes |
| Permutations répétées |
n^r |
Oui |
Oui |
Code PIN, mots de passe |
| Combinaisons |
n! / (r!(n-r)!) |
Non |
Non |
Loto, main de poker |
| Combinaisons répétées |
(n+r-1)! / (r!(n-1)!) |
Non |
Oui |
Distribuer r bonbons identiques à n enfants |
Applications Pratiques
Probabilités et Jeux :
• Loto : C(49, 6) = 13 983 816 combinaisons
• Poker : Calculer les mains possibles
• Dés et jeux de cartes
Informatique :
• Cryptographie (nombre de clés possibles)
• Algorithmes de recherche et tri
• Génération de mots de passe
• Complexité algorithmique
Planification :
• Emplois du temps (arrangements de cours)
• Affectation de ressources
• Tournois sportifs (matchs possibles)
Génétique :
• Combinaisons de gènes
• Calcul de probabilités héréditaires
Chimie :
• Isomères possibles d'une molécule
• Arrangements atomiques
Formules de Factorielles Utiles
| n |
n! |
n |
n! |
| 0 | 1 | 11 | 39 916 800 |
| 1 | 1 | 12 | 479 001 600 |
| 2 | 2 | 13 | 6 227 020 800 |
| 3 | 6 | 14 | 87 178 291 200 |
| 4 | 24 | 15 | 1 307 674 368 000 |
| 5 | 120 | 16 | 20 922 789 888 000 |
| 6 | 720 | 17 | 355 687 428 096 000 |
| 7 | 5 040 | 18 | 6,4 × 10¹⁵ |
| 8 | 40 320 | 19 | 1,2 × 10¹⁷ |
| 9 | 362 880 | 20 | 2,4 × 10¹⁸ |
| 10 | 3 628 800 | 25 | 1,6 × 10²⁵ |
💡 Astuce Mnémotechnique
Pour choisir entre permutation et combinaison :
- L'ordre compte-t-il ? → OUI = Permutation, NON = Combinaison
- ABC est-il différent de CBA ? → OUI = Permutation, NON = Combinaison
- Puis-je réutiliser un élément ? → OUI = avec répétition, NON = sans répétition