Calculateur de Matrices - Addition, Multiplication, Déterminant, Inverse

Les Matrices : Opérations et Propriétés

Une matrice est un tableau rectangulaire de nombres organisés en lignes et colonnes. Les matrices sont fondamentales en algèbre linéaire et ont de nombreuses applications en sciences, ingénierie, informatique et économie.

📐 Notation et Dimensions

Une matrice m × n a m lignes et n colonnes.

Exemple d'une matrice 2 × 3 :
A = | 1 2 3 |
| 4 5 6 |

Élément aᵢⱼ : élément à la ligne i, colonne j

➕ Addition de Matrices

L'addition n'est possible que si les deux matrices ont les mêmes dimensions. On additionne élément par élément.

Si A et B sont de dimension m × n :
C = A + B où cᵢⱼ = aᵢⱼ + bᵢⱼ

Exemple :
| 1 2 | | 5 6 | | 6 8 |
| 3 4 | + | 7 8 | = | 10 12 |

✖️ Multiplication de Matrices

Le produit A × B n'est possible que si le nombre de colonnes de A égale le nombre de lignes de B. Si A est m × n et B est n × p, alors C = A × B sera m × p.

cᵢⱼ = Σ(aᵢₖ × bₖⱼ) pour k = 1 à n

Exemple (2×2) × (2×2) :
| 1 2 | | 5 6 | | 1×5+2×7 1×6+2×8 | | 19 22 |
| 3 4 | × | 7 8 | = | 3×5+4×7 3×6+4×8 | = | 43 50 |

🔄 Transposée

La transposée d'une matrice A (notée A^T) s'obtient en échangeant lignes et colonnes.

Si A est m × n, alors A^T est n × m
(A^T)ᵢⱼ = aⱼᵢ

Exemple :
A = | 1 2 3 | A^T = | 1 4 |
| 4 5 6 | | 2 5 |
| 3 6 |

🔢 Déterminant

Le déterminant est un nombre scalaire calculé seulement pour les matrices carrées. Il indique si la matrice est inversible (det ≠ 0).

Matrice 2 × 2 :
det | a b | = ad - bc
| c d |

Matrice 3 × 3 (règle de Sarrus) :
det | a b c |
| d e f | = aei + bfg + cdh - ceg - afh - bdi
| g h i |

↩️ Matrice Inverse

L'inverse d'une matrice carrée A (notée A^-1) est la matrice telle que A × A^-1 = I (matrice identité). Une matrice est inversible si et seulement si son déterminant est non nul.

Pour une matrice 2 × 2 :
A = | a b | A^-1 = 1/(ad-bc) × | d -b |
| c d | | -c a |

Condition : det(A) = ad - bc ≠ 0

📊 Propriétés des Opérations

Propriété	Formule
Commutativité addition	A + B = B + A
Associativité addition	(A + B) + C = A + (B + C)
Non-commutativité multiplication	A × B ≠ B × A (en général)
Associativité multiplication	(A × B) × C = A × (B × C)
Distributivité	A × (B + C) = A × B + A × C
Transposée d'un produit	(A × B)^T = B^T × A^T
Inverse d'un produit	(A × B)^-1 = B^-1 × A^-1
Déterminant d'un produit	det(A × B) = det(A) × det(B)

🎯 Types de Matrices Spéciales

Type	Description	Exemple 3×3
Matrice nulle	Tous les éléments = 0	Tous les éléments sont 0
Matrice identité	Diagonale = 1, reste = 0	Diag(1,1,1)
Matrice diagonale	Seule la diagonale ≠ 0	Diag(a,b,c)
Matrice triangulaire	Zéros au-dessus ou en-dessous	Triangulaire supérieure/inférieure
Matrice symétrique	A = A^T	aᵢⱼ = aⱼᵢ
Matrice orthogonale	A^T × A = I	A^-1 = A^T

💡 Applications des Matrices

Graphisme 3D : Transformations géométriques (rotation, translation, mise à l'échelle)
Systèmes linéaires : Résolution d'équations linéaires (méthode de Gauss)
Physique quantique : Représentation d'états quantiques et opérateurs
Économie : Modèles entrées-sorties de Leontief, analyse financière
Statistiques : Régression linéaire, analyse en composantes principales
Réseaux de neurones : Propagation avant et rétro-propagation
Traitement du signal : Transformée de Fourier discrète
Cryptographie : Chiffrement matriciel (Hill cipher)

🔬 Rang d'une Matrice

Le rang d'une matrice est le nombre maximal de lignes (ou colonnes) linéairement indépendantes. Il indique la "dimension" de l'espace engendré par les vecteurs lignes/colonnes.

Pour une matrice m × n :
rang(A) ≤ min(m, n)

• Rang complet : rang(A) = min(m, n)
• Matrice inversible ⟺ rang(A) = n (pour une matrice n × n)

⚡ Valeurs Propres et Vecteurs Propres

Pour une matrice carrée A, un vecteur propre v et une valeur propre λ satisfont : A × v = λ × v

Équation caractéristique : det(A - λI) = 0

Les valeurs propres sont les racines de cette équation.
Applications : diagonalisation, analyse de stabilité, page rank de Google

🔢 Calculateur de Matrices

Matrice A

Matrice B