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Calculateur de Logarithmes

Calculez les logarithmes avec différentes bases : log base 10, logarithme népérien (ln), base 2 ou base personnalisée.

Guide Complet des Logarithmes

Qu'est-ce qu'un logarithme ?

Le logarithme est l'opération inverse de l'exponentiation. Si by = x, alors logb(x) = y. En d'autres termes, le logarithme répond à la question : "À quelle puissance dois-je élever b pour obtenir x ?"

Définition :

logb(x) = y ⟺ by = x

Où :

  • b = base (b > 0 et b ≠ 1)
  • x = argument (x > 0)
  • y = résultat (logarithme)

Les trois types principaux de logarithmes

1. Logarithme décimal (log₁₀ ou log)

Logarithme en base 10. Très utilisé en sciences et ingénierie. Sur les calculatrices, c'est généralement la touche "LOG".

Exemple : log₁₀(100) = 2 car 10² = 100

log₁₀(1000) = 3 car 10³ = 1000

2. Logarithme népérien ou naturel (ln)

Logarithme en base e (nombre d'Euler ≈ 2,71828...). Fondamental en mathématiques et calcul différentiel. Sur les calculatrices, c'est la touche "LN".

Exemple : ln(e) = 1 car e¹ = e

ln(e²) = 2 car e² = e²

3. Logarithme binaire (log₂)

Logarithme en base 2. Très important en informatique (bits, algorithmes, complexité).

Exemple : log₂(8) = 3 car 2³ = 8

log₂(1024) = 10 car 2¹⁰ = 1024

Propriétés fondamentales des logarithmes

Propriété Formule Explication
Log de 1 logb(1) = 0 Car b⁰ = 1
Log de la base logb(b) = 1 Car b¹ = b
Log d'une puissance logb(bx) = x Annulation avec l'exponentiation
Exponentielle d'un log blogb(x) = x Annulation inverse
Log de zéro logb(0) = -∞ Indéfini (limite)
Log de négatif logb(x<0) Indéfini dans ℝ

Règles de calcul

Produit

logb(x × y) = logb(x) + logb(y)

Le logarithme d'un produit est la somme des logarithmes.

Exemple : log₁₀(100 × 1000) = log₁₀(100) + log₁₀(1000) = 2 + 3 = 5

Quotient

logb(x / y) = logb(x) - logb(y)

Le logarithme d'un quotient est la différence des logarithmes.

Exemple : log₁₀(1000 / 10) = log₁₀(1000) - log₁₀(10) = 3 - 1 = 2

Puissance

logb(xn) = n × logb(x)

Le logarithme d'une puissance est le produit de l'exposant par le logarithme.

Exemple : log₁₀(100²) = 2 × log₁₀(100) = 2 × 2 = 4

Changement de base

logb(x) = logc(x) / logc(b)

Permet de calculer un logarithme dans une base à partir d'une autre base.

Exemple : log₂(8) = log₁₀(8) / log₁₀(2) = 0,903 / 0,301 ≈ 3

Applications des logarithmes

Sciences et ingénierie :

Informatique :

Finance :

Psychologie et biologie :

Valeurs courantes à mémoriser

Expression Valeur
log₁₀(1)0
log₁₀(10)1
log₁₀(100)2
log₁₀(1000)3
ln(1)0
ln(e)1
ln(e²)2
log₂(1)0
log₂(2)1
log₂(4)2
log₂(8)3
log₂(1024)10

Questions fréquentes

Pourquoi le logarithme de zéro est-il indéfini ?

Aucune puissance d'un nombre positif ne peut donner zéro. Mathématiquement, quand x tend vers 0⁺, log(x) tend vers -∞. C'est pourquoi log(0) est indéfini.

Pourquoi ne peut-on pas prendre le logarithme d'un nombre négatif ?

Dans l'ensemble des nombres réels, aucune puissance réelle d'un nombre positif ne donne un nombre négatif. Les logarithmes de nombres négatifs existent dans l'ensemble des nombres complexes.

Quelle est la différence entre log et ln ?

log désigne généralement le logarithme décimal (base 10), surtout en sciences et ingénierie. ln désigne toujours le logarithme népérien (base e). En mathématiques pures, "log" peut parfois désigner ln, d'où l'importance du contexte.

Comment calculer un logarithme à la main ?

Pour des valeurs simples, utilisez la définition : cherchez quelle puissance de la base donne le nombre. Pour des valeurs complexes, utilisez les tables de logarithmes (méthode historique) ou les calculatrices.

À quoi sert le changement de base ?

Si votre calculatrice n'a que log₁₀ et ln, vous pouvez calculer n'importe quel logb(x) avec : logb(x) = ln(x) / ln(b) ou logb(x) = log₁₀(x) / log₁₀(b)