📊 Intervalle de Confiance

Intervalle de confiance pour la moyenne (loi normale) : IC = X̄ ± Z × (σ / √n) Intervalle de confiance pour la moyenne (loi de Student) : IC = X̄ ± t × (s / √n) Intervalle de confiance pour une proportion : IC = p̂ ± Z × √(p̂(1-p̂) / n) Où : • X̄ = moyenne de l'échantillon • σ = écart-type de la population • s = écart-type de l'échantillon • n = taille de l'échantillon • Z = valeur critique de la loi normale • t = valeur critique de la loi de Student (ddl = n-1) • p̂ = proportion de l'échantillon = x/n • x = nombre de succès

Ce que cela signifie vraiment : ✓ CORRECT : "Si nous répétons l'échantillonnage 100 fois et calculons 100 intervalles de confiance à 95%, environ 95 de ces intervalles contiendront la vraie valeur de la population." ✗ INCORRECT : "Il y a 95% de chances que la vraie valeur soit dans cet intervalle." (La vraie valeur est fixe, c'est l'intervalle qui varie d'un échantillon à l'autre) Niveau de confiance vs Largeur de l'intervalle : • Plus le niveau de confiance est élevé → plus l'intervalle est large • 99% de confiance → intervalle plus large que 95% • 90% de confiance → intervalle plus étroit que 95%

Problème : Un échantillon de 30 étudiants obtient une moyenne de 50 points avec un écart-type de 10. Calculez l'IC à 95%. Données : • X̄ = 50 • n = 30 • σ = 10 • Niveau de confiance = 95% → Z = 1,96 Calcul : Erreur standard (SE) = σ / √n = 10 / √30 = 1,826 Marge d'erreur = Z × SE = 1,96 × 1,826 = 3,58 IC = X̄ ± marge d'erreur IC = 50 ± 3,58 IC = [46,42 ; 53,58] Interprétation : Nous sommes confiants à 95% que la vraie moyenne de la population se situe entre 46,42 et 53,58 points.

Problème : Dans un sondage de 100 personnes, 45 approuvent une mesure. Calculez l'IC à 95% pour la proportion de la population qui approuve. Données : • x = 45 (succès) • n = 100 • p̂ = 45/100 = 0,45 • Niveau de confiance = 95% → Z = 1,96 Calcul : Erreur standard = √(p̂(1-p̂)/n) = √(0,45 × 0,55 / 100) = 0,0498 Marge d'erreur = Z × SE = 1,96 × 0,0498 = 0,0975 IC = p̂ ± marge d'erreur IC = 0,45 ± 0,0975 IC = [0,3525 ; 0,5475] IC = [35,25% ; 54,75%] Interprétation : Nous sommes confiants à 95% que entre 35,25% et 54,75% de la population totale approuve cette mesure.

Largeur de l'intervalle augmente avec : ✓ Niveau de confiance plus élevé (95% → 99%) ✓ Écart-type plus grand (plus de variabilité) ✓ Taille d'échantillon plus petite Largeur de l'intervalle diminue avec : ✓ Niveau de confiance plus faible (99% → 90%) ✓ Écart-type plus petit (moins de variabilité) ✓ Taille d'échantillon plus grande Relation avec la taille d'échantillon : Pour réduire la largeur de l'IC de moitié, il faut multiplier n par 4. (car la marge d'erreur est proportionnelle à 1/√n)

Recherche médicale : • Efficacité de traitements • Paramètres biologiques (tension, glycémie) • Essais cliniques Sondages et études de marché : • Intentions de vote • Satisfaction client • Parts de marché Contrôle qualité : • Dimensions de pièces manufacturées • Durée de vie de produits • Taux de défauts Sciences sociales : • Mesures psychométriques • Études comportementales • Recherche en éducation Finance : • Rendements moyens • Volatilité • Risques