📖 Guide Complet de la Suite de Fibonacci
Qu'est-ce que la suite de Fibonacci ?
La suite de Fibonacci est une séquence de nombres où chaque nombre est la somme des deux précédents. Elle commence par 0 et 1.
Définition récursive :
F(0) = 0
F(1) = 1
F(n) = F(n-1) + F(n-2) pour n ≥ 2
Séquence :
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610...
Formule de Binet (formule explicite)
Jacques Philippe Marie Binet a découvert une formule permettant de calculer directement le n-ième nombre de Fibonacci :
F(n) = (φⁿ - ψⁿ) / √5
Où :
• φ = (1 + √5) / 2 ≈ 1,618033988749 (nombre d'or)
• ψ = (1 - √5) / 2 ≈ -0,618033988749
• √5 ≈ 2,236067977499
Le Nombre d'Or (φ, Phi)
Le nombre d'or est une constante mathématique irrationnelle qui apparaît fréquemment dans la nature et l'art.
φ = (1 + √5) / 2 ≈ 1,618033988749894848...
Propriétés remarquables :
• φ² = φ + 1
• 1/φ = φ - 1
• φ = 1 + 1/φ
• lim(n→∞) F(n+1)/F(n) = φ
Propriétés de la suite de Fibonacci
1. Parité
- F(3n) est toujours pair
- F(n) est pair si et seulement si n est divisible par 3
2. Divisibilité
- PGCD(F(m), F(n)) = F(PGCD(m, n))
- F(n) divise F(kn) pour tout entier k
3. Sommes
F(1) + F(2) + ... + F(n) = F(n+2) - 1
F(1)² + F(2)² + ... + F(n)² = F(n) × F(n+1)
4. Identité de Cassini
F(n-1) × F(n+1) - F(n)² = (-1)ⁿ
Premiers nombres de Fibonacci
| n |
F(n) |
n |
F(n) |
| 0 | 0 | 13 | 233 |
| 1 | 1 | 14 | 377 |
| 2 | 1 | 15 | 610 |
| 3 | 2 | 16 | 987 |
| 4 | 3 | 17 | 1 597 |
| 5 | 5 | 18 | 2 584 |
| 6 | 8 | 19 | 4 181 |
| 7 | 13 | 20 | 6 765 |
| 8 | 21 | 25 | 75 025 |
| 9 | 34 | 30 | 832 040 |
| 10 | 55 | 40 | 102 334 155 |
| 11 | 89 | 50 | 12 586 269 025 |
| 12 | 144 | 100 | 354 224 848 179 261 915 075 |
Applications dans la nature
1. Botanique
- Phyllotaxie : Disposition des feuilles sur une tige (spirale)
- Fleurs : Nombre de pétales souvent un nombre de Fibonacci (lys: 3, renoncule: 5, cosmos: 8, marguerite: 21, 34 ou 55)
- Pommes de pin : Spirales dans le sens horaire et antihoraire (8 et 13, ou 13 et 21)
- Ananas, tournesol : Spirales de graines suivent Fibonacci
2. Biologie
- Reproduction des lapins : Problème originel de Fibonacci (1202)
- Abeilles : Généalogie des mâles suit Fibonacci
- Coquillages : Spirale logarithmique (nautile)
- ADN : Dimensions moléculaires liées au nombre d'or
3. Astronomie
- Spirales des galaxies
- Distances orbitales de certaines planètes
Applications en art et architecture
1. Architecture
- Parthénon (Athènes) : Proportions basées sur φ
- Pyramides d'Égypte : Rapports dorés dans la structure
- Notre-Dame de Paris : Façade suit le nombre d'or
- Modulor de Le Corbusier : Système de mesure basé sur φ
2. Peinture
- Léonard de Vinci : La Joconde, L'Homme de Vitruve
- Salvador Dalí : Le Sacrement de la Dernière Cène
- Mondrian : Compositions avec rectangles dorés
3. Musique
- Structure des œuvres de Debussy, Bartók
- Proportions dans les sonates de Mozart
- Gamme pentatonique et rapports de fréquences
Applications en mathématiques et informatique
1. Algorithmes
- Recherche de Fibonacci : Technique de recherche efficace
- Tas de Fibonacci : Structure de données
- Générateurs de nombres pseudo-aléatoires
2. Analyse d'algorithmes
- Algorithme d'Euclide : Pire cas avec nombres de Fibonacci consécutifs
- Complexité de certains algorithmes récursifs
3. Théorie des nombres
- Démonstration de l'infinité des nombres premiers
- Fractions continues et approximations rationnelles
La spirale de Fibonacci
En dessinant des carrés de côtés F(n) et en traçant des arcs de cercle, on obtient une spirale qui approche la spirale logarithmique (spirale d'or).
Construction :
• Carré 1×1, Carré 1×1, Carré 2×2, Carré 3×3, Carré 5×5, Carré 8×8...
• Arcs de cercle de rayon F(n) dans chaque carré
• Résultat : spirale observée dans la nature
Le rectangle d'or
Un rectangle dont le ratio longueur/largeur est égal à φ (environ 1,618:1).
- Considéré comme esthétiquement parfait
- Format des cartes de crédit approximativement
- Écrans 16:10 s'approchent du ratio (φ ≈ 1,6)
- Si on retire un carré, le rectangle restant est aussi un rectangle d'or
Curiosités mathématiques
1. Tout entier est somme d'au plus 2 nombres de Fibonacci distincts
Théorème de Zeckendorf : représentation unique en somme de Fibonacci non consécutifs.
2. Les nombres de Fibonacci et les puissances de φ
F(n) ≈ φⁿ / √5 pour n grand
3. Nombres de Fibonacci premiers
- F(3) = 2
- F(4) = 3
- F(5) = 5
- F(7) = 13
- F(11) = 89
- F(13) = 233
- Si F(n) est premier, alors n est premier (réciproque fausse : F(19) = 4181 = 37 × 113)
Problème original de Fibonacci (1202)
Le problème des lapins :
Un couple de lapins met un mois pour arriver à maturité. Chaque mois, chaque couple adulte donne naissance à un nouveau couple. Combien de couples après n mois ?
Mois 1 : 1 couple (immature)
Mois 2 : 1 couple (mature)
Mois 3 : 2 couples (1 mature + 1 nouveau)
Mois 4 : 3 couples
Mois 5 : 5 couples
Mois n : F(n) couples
Questions fréquentes
Pourquoi commence-t-on à F(0) = 0 ?
Par convention mathématique moderne. Fibonacci lui-même a commencé sa séquence à F(1) = 1, F(2) = 1. Commencer à F(0) = 0 simplifie certaines formules.
Le nombre d'or est-il vraiment omniprésent dans la nature ?
C'est parfois exagéré dans la culture populaire. Certaines occurrences sont réelles (phyllotaxie, coquillages), d'autres sont des approximations ou des coïncidences.
Comment calculer rapidement de grands nombres de Fibonacci ?
Pour n > 30, utiliser la formule de Binet ou la multiplication matricielle. La méthode récursive naïve est très lente (complexité exponentielle).
Y a-t-il un nombre de Fibonacci négatif ?
Oui ! On peut étendre la suite vers les indices négatifs : F(-n) = (-1)^(n+1) × F(n). Exemple : F(-1) = 1, F(-2) = -1, F(-3) = 2, F(-4) = -3...