Qu'est-ce que la factorisation ?
La factorisation est le processus de décomposition d'un nombre en ses facteurs,
c'est-à-dire les nombres entiers qui, multipliés ensemble, donnent le nombre d'origine.
La factorisation en nombres premiers consiste à exprimer un nombre comme le produit de nombres premiers uniquement.
📊 Définitions importantes
- Facteur : Un nombre qui divise exactement un autre nombre sans laisser de reste
- Nombre premier : Un nombre supérieur à 1 qui n'a que deux facteurs : 1 et lui-même
- Factorisation première : Décomposition d'un nombre en produit de nombres premiers
- Diviseur : Synonyme de facteur
🎯 Exemple de factorisation
Nombre : 120
Tous les facteurs : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120
Factorisation première : 2³ × 3 × 5 = 2 × 2 × 2 × 3 × 5
Vérification : 8 × 3 × 5 = 120 ✓
🔍 Comment trouver les facteurs d'un nombre ?
Méthode 1 : Division systématique
- Commencez par 1 et le nombre lui-même
- Testez tous les nombres de 2 jusqu'à la racine carrée du nombre
- Si un nombre divise exactement, ajoutez-le ainsi que le quotient aux facteurs
Méthode 2 : Factorisation première
- Divisez le nombre par le plus petit nombre premier (2) autant de fois que possible
- Passez au nombre premier suivant (3, 5, 7, 11, ...) et répétez
- Continuez jusqu'à ce que le quotient soit 1
📈 Propriétés des facteurs
| Propriété |
Description |
| Nombre de facteurs |
Un nombre premier a exactement 2 facteurs (1 et lui-même) |
| Facteurs par paires |
Les facteurs viennent par paires (sauf pour les carrés parfaits) |
| Factorisation unique |
Théorème fondamental : chaque nombre a une factorisation première unique |
| Nombre de diviseurs |
Si n = p₁^a₁ × p₂^a₂ × ... alors τ(n) = (a₁+1)(a₂+1)... |
🎓 Applications pratiques
- PGCD et PPCM : Calcul du plus grand commun diviseur et du plus petit commun multiple
- Simplification de fractions : Réduire les fractions à leur forme la plus simple
- Cryptographie : Les algorithmes RSA reposent sur la difficulté de factoriser de grands nombres
- Résolution d'équations : Factorisation d'expressions algébriques
- Théorie des nombres : Étude des propriétés des entiers
- Optimisation : Organisation d'objets en groupes égaux
🔐 Nombres premiers remarquables
Premiers 15 nombres premiers :
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47
Note : 2 est le seul nombre premier pair
Note : 1 n'est pas considéré comme un nombre premier
💡 Exemples de factorisations courantes
| Nombre |
Factorisation première |
Nombre de facteurs |
| 12 |
2² × 3 |
6 facteurs |
| 24 |
2³ × 3 |
8 facteurs |
| 30 |
2 × 3 × 5 |
8 facteurs |
| 60 |
2² × 3 × 5 |
12 facteurs |
| 100 |
2² × 5² |
9 facteurs |
| 144 |
2⁴ × 3² |
15 facteurs |
❓ Questions fréquentes
Quelle est la différence entre facteurs et facteurs premiers ?
Les facteurs sont tous les nombres qui divisent exactement un nombre donné. Les facteurs premiers
sont seulement les nombres premiers qui, multipliés ensemble, donnent ce nombre. Par exemple,
pour 12 : facteurs = {1, 2, 3, 4, 6, 12}, facteurs premiers = {2, 3}.
Pourquoi 1 n'est-il pas un nombre premier ?
Par définition, un nombre premier doit avoir exactement deux diviseurs distincts : 1 et lui-même.
Le nombre 1 n'a qu'un seul diviseur (lui-même), il ne satisfait donc pas cette condition. De plus,
exclure 1 permet de garantir l'unicité de la factorisation première.
Comment calculer le nombre de facteurs d'un nombre ?
Utilisez la formule : si n = p₁^a₁ × p₂^a₂ × ... × pₖ^aₖ, alors le nombre de diviseurs
τ(n) = (a₁ + 1)(a₂ + 1)...(aₖ + 1). Par exemple, pour 12 = 2² × 3¹,
τ(12) = (2 + 1)(1 + 1) = 6 facteurs.
Quelle est l'importance de la factorisation en cryptographie ?
La sécurité du chiffrement RSA repose sur la difficulté de factoriser de très grands nombres
(200+ chiffres) en leurs facteurs premiers. Alors qu'il est facile de multiplier deux grands
nombres premiers, il est extrêmement difficile de faire l'inverse : retrouver les facteurs
premiers d'un très grand nombre.
Tous les nombres ont-ils une factorisation première unique ?
Oui ! C'est le théorème fondamental de l'arithmétique. Chaque nombre entier supérieur à 1 peut
être représenté d'une seule façon comme produit de nombres premiers (à l'ordre près). Par exemple,
30 = 2 × 3 × 5 est la seule factorisation première possible de 30.
Comment vérifier si un nombre est premier ?
Testez si le nombre est divisible par tous les nombres premiers jusqu'à sa racine carrée.
Si aucun ne divise le nombre, il est premier. Par exemple, pour vérifier si 37 est premier,
testez 2, 3, 5 (car √37 ≈ 6). Aucun ne divise 37, donc 37 est premier.