Les Exposants : Définition et Règles
Un exposant (ou puissance) indique combien de fois un nombre (la base) est multiplié
par lui-même. L'expression an signifie que a est multiplié par lui-même n fois.
📐 Notation et Terminologie
an = a × a × a × ... × a (n fois)
Exemple :
2³ = 2 × 2 × 2 = 8
5⁴ = 5 × 5 × 5 × 5 = 625
• a = base
• n = exposant (ou puissance)
• an = exponentiation (ou élévation à la puissance)
🔢 Règles Fondamentales des Exposants
| Règle |
Formule |
Exemple |
| Produit de puissances |
am × an = am+n |
2³ × 2⁴ = 2⁷ = 128 |
| Quotient de puissances |
am ÷ an = am-n |
5⁶ ÷ 5² = 5⁴ = 625 |
| Puissance d'une puissance |
(am)n = am×n |
(2³)² = 2⁶ = 64 |
| Puissance d'un produit |
(ab)n = anbn |
(2×3)² = 2² × 3² = 36 |
| Puissance d'un quotient |
(a/b)n = an/bn |
(4/2)³ = 4³/2³ = 8 |
| Exposant zéro |
a⁰ = 1 (si a ≠ 0) |
5⁰ = 1, 100⁰ = 1 |
| Exposant un |
a¹ = a |
7¹ = 7 |
| Exposant négatif |
a-n = 1/an |
2⁻³ = 1/2³ = 1/8 |
| Exposant fractionnaire |
am/n = n√(am) |
82/3 = ³√(8²) = 4 |
📊 Valeurs Courantes
| Expression |
Valeur |
Expression |
Valeur |
| 2² |
4 |
10² |
100 |
| 2³ |
8 |
10³ |
1 000 |
| 2⁴ |
16 |
10⁴ |
10 000 |
| 2⁵ |
32 |
10⁵ |
100 000 |
| 2⁶ |
64 |
10⁶ |
1 000 000 |
| 2¹⁰ |
1 024 |
10⁹ |
1 milliard |
🎯 Exposants Négatifs
Un exposant négatif indique l'inverse (ou réciproque) de la puissance positive correspondante.
a-n = 1/an
Exemples :
2⁻¹ = 1/2 = 0.5
3⁻² = 1/3² = 1/9 ≈ 0.111
10⁻³ = 1/1000 = 0.001
5⁻¹ = 1/5 = 0.2
√ Exposants Fractionnaires
Un exposant fractionnaire combine puissance et racine. Le numérateur indique la puissance,
le dénominateur indique la racine.
am/n = n√(am) = (n√a)m
Exemples :
41/2 = √4 = 2
81/3 = ³√8 = 2
163/4 = (⁴√16)³ = 2³ = 8
272/3 = (³√27)² = 3² = 9
💡 Applications Pratiques
- Sciences : Notation scientifique (3 × 10⁸ m/s pour la vitesse de la lumière)
- Finance : Intérêts composés, croissance exponentielle
- Informatique : Puissances de 2 (2¹⁰ = 1024 bytes = 1 Ko)
- Physique : Lois en carrés inverses (gravité, électromagnétisme)
- Biologie : Croissance de populations, réactions enzymatiques
- Chimie : pH = -log₁₀[H⁺], demi-vie radioactive
- Mathématiques : Polynômes, équations exponentielles
⚠️ Cas Particuliers
0⁰ est indéfini (conventionnellement = 1 en combinatoire)
0n = 0 (si n > 0)
1n = 1 (pour tout n)
(-1)² = 1 (exposant pair → positif)
(-1)³ = -1 (exposant impair → négatif)
(-a)² = a² mais -a² = -(a²)
🔬 Croissance Exponentielle vs Polynomiale
Les fonctions exponentielles (2n, ex) croissent beaucoup plus rapidement
que les fonctions polynomiales (n², n³) pour de grandes valeurs.
Pour n = 10 :
n² = 100
n³ = 1 000
2n = 1 024
Pour n = 20 :
n² = 400
n³ = 8 000
2n = 1 048 576
❓ Questions fréquentes
Quelle est la différence entre 2³ et 3² ?
2³ = 2 × 2 × 2 = 8, tandis que 3² = 3 × 3 = 9. Dans an, a est la base
(le nombre répété) et n est l'exposant (le nombre de répétitions). L'ordre importe !
Pourquoi a⁰ = 1 ?
Par la règle am ÷ an = am-n, on a an ÷ an = an-n = a⁰.
Mais an ÷ an = 1 (n'importe quoi divisé par lui-même = 1), donc a⁰ = 1.
Comment calculer des exposants fractionnaires sans calculatrice ?
Utilisez am/n = n√(am). Par exemple, pour 82/3 :
calculez d'abord ³√8 = 2, puis élevez au carré : 2² = 4. Ou calculez 8² = 64, puis ³√64 = 4.
Que se passe-t-il avec des bases négatives ?
Avec un exposant entier : (-2)³ = -8 (impair → négatif), (-2)⁴ = 16 (pair → positif).
Avec un exposant fractionnaire : les bases négatives peuvent donner des résultats complexes.
Par exemple, (-4)1/2 = √(-4) = 2i (nombre imaginaire).
Quelle est la différence entre -2² et (-2)² ?
-2² = -(2²) = -4 (l'exposant s'applique seulement au 2, pas au signe négatif).
(-2)² = (-2) × (-2) = 4 (l'exposant s'applique à toute l'expression entre parenthèses).
Les parenthèses sont cruciales !
Comment simplifier (2³)⁴ ?
Utilisez la règle (am)n = am×n. Donc (2³)⁴ = 23×4 = 2¹² = 4 096.
Ne confondez pas avec 2³⁴, qui serait beaucoup plus grand !