Résolvez les équations quadratiques de la forme ax² + bx + c = 0 et trouvez les racines, le discriminant et le sommet de la parabole.
Une équation du second degré (ou équation quadratique) est une équation polynomiale de degré 2. Elle s'écrit sous la forme canonique :
ax² + bx + c = 0
Où :
La formule générale pour résoudre ax² + bx + c = 0 est :
x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)
Cette formule donne deux solutions (ou racines) :
Où Δ (delta) = b² - 4ac est appelé le discriminant.
Le discriminant détermine le nombre et la nature des solutions :
| Condition | Solutions | Graphique |
|---|---|---|
| Δ > 0 | Deux solutions réelles distinctes | La parabole coupe l'axe des x en 2 points |
| Δ = 0 | Une solution réelle double (racine double) | La parabole touche l'axe des x en 1 point (sommet) |
| Δ < 0 | Deux solutions complexes conjuguées | La parabole ne coupe pas l'axe des x |
Exemple 1 : x² - 5x + 6 = 0
a = 1, b = -5, c = 6
Discriminant : Δ = (-5)² - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1
Δ > 0 → deux solutions réelles
x₁ = (5 + √1) / 2 = 6 / 2 = 3
x₂ = (5 - √1) / 2 = 4 / 2 = 2
Solutions : x = 2 ou x = 3
Vérification : (x-2)(x-3) = x² - 5x + 6 ✓
Exemple 2 : x² - 4x + 4 = 0
a = 1, b = -4, c = 4
Discriminant : Δ = (-4)² - 4(1)(4) = 16 - 16 = 0
Δ = 0 → une solution double
x = 4 / 2 = 2
Solution : x = 2 (racine double)
Vérification : (x-2)² = x² - 4x + 4 ✓
Exemple 3 : x² + x + 1 = 0
a = 1, b = 1, c = 1
Discriminant : Δ = 1² - 4(1)(1) = 1 - 4 = -3
Δ < 0 → pas de solution réelle, deux solutions complexes
x₁ = (-1 + i√3) / 2
x₂ = (-1 - i√3) / 2
Toute équation ax² + bx + c représente graphiquement une parabole. Le sommet (point extrême) de la parabole a pour coordonnées :
Sommet S(h, k) où :
La parabole est orientée :
Lorsque les racines x₁ et x₂ existent, l'équation peut s'écrire :
a(x - x₁)(x - x₂) = 0
Cette forme est utile pour visualiser directement les solutions.
Les formules de Viète établissent une relation entre les coefficients et les racines :
Somme des racines : x₁ + x₂ = -b/a
Produit des racines : x₁ × x₂ = c/a
Cherchez deux nombres qui, multipliés, donnent ac et, additionnés, donnent b.
Exemple : x² + 5x + 6 = 0
Chercher deux nombres dont le produit est 6 et la somme est 5 : 2 et 3
x² + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3) = 0
Donc x = -2 ou x = -3
Transformer l'équation en (x + p)² = q
Exemple : x² + 6x + 5 = 0
x² + 6x = -5
x² + 6x + 9 = -5 + 9
(x + 3)² = 4
x + 3 = ±2
x = -3 + 2 = -1 ou x = -3 - 2 = -5
Tracer la parabole y = ax² + bx + c et lire les intersections avec l'axe des x.
Physique :
Géométrie :
Économie :
Ingénierie :
ax² + c = 0 → x² = -c/a → x = ±√(-c/a)
ax² + bx = 0 → x(ax + b) = 0 → x = 0 ou x = -b/a
x² + bx + c = 0 (simplifie les calculs)
Si a = 0, l'équation devient bx + c = 0, qui est une équation du premier degré, pas du second. Le terme en x² est essentiel pour définir une équation quadratique.
Oui ! La formule quadratique fonctionne toujours pour toute équation du second degré, même si d'autres méthodes (factorisation) peuvent être plus rapides dans certains cas.
Une racine double (Δ = 0) signifie que la parabole touche l'axe des x en un seul point : son sommet. Mathématiquement, on a deux racines identiques x₁ = x₂.
Dans l'ensemble des nombres réels, il n'y a pas de solution. Dans l'ensemble des nombres complexes, on utilise i = √(-1) pour exprimer les solutions : x = (-b ± i√|Δ|) / (2a)
Le symbole ± (plus ou moins) représente les deux racines de la racine carrée. √4 a deux valeurs : +2 et -2. C'est pourquoi une équation du second degré a généralement deux solutions.