Convertissez entre binaire, décimal, hexadécimal et octal. Effectuez des opérations arithmétiques.
Le système binaire est un système de numération en base 2, qui utilise uniquement deux chiffres : 0 et 1. Chaque chiffre binaire est appelé un "bit" (binary digit). C'est le langage fondamental des ordinateurs et de tous les systèmes numériques modernes.
Les ordinateurs utilisent le binaire car les circuits électroniques peuvent facilement représenter deux états : courant présent (1) ou courant absent (0). Cette simplicité rend les ordinateurs fiables et rapides, car il est plus facile de distinguer entre deux états qu'entre dix états (comme en décimal).
| Système | Base | Chiffres utilisés | Exemple |
|---|---|---|---|
| Binaire | 2 | 0, 1 | 10102 = 1010 |
| Octal | 8 | 0 à 7 | 128 = 1010 |
| Décimal | 10 | 0 à 9 | 1010 |
| Hexadécimal | 16 | 0 à 9, A à F | A16 = 1010 |
Méthode : Multipliez chaque bit par 2 élevé à la puissance de sa position (en partant de 0 à droite), puis additionnez.
Formule : ... + (bit₃ × 2³) + (bit₂ × 2²) + (bit₁ × 2¹) + (bit₀ × 2⁰)
Exemple : Convertir 10112 en décimal
Position : 3 2 1 0
Bits : 1 0 1 1
Calcul :
Total : 8 + 0 + 2 + 1 = 1110
Méthode : Divisez successivement le nombre par 2 et notez les restes. Le binaire se lit en prenant les restes de bas en haut.
Exemple : Convertir 1310 en binaire
13 ÷ 2 = 6 reste 1
6 ÷ 2 = 3 reste 0
3 ÷ 2 = 1 reste 1
1 ÷ 2 = 0 reste 1
Résultat (de bas en haut) : 11012
La conversion entre binaire et hexadécimal est particulièrement simple car 16 = 2⁴. Chaque chiffre hexadécimal correspond exactement à 4 bits binaires.
| Décimal | Binaire (4 bits) | Hexadécimal |
|---|---|---|
| 0 | 0000 | 0 |
| 1 | 0001 | 1 |
| 2 | 0010 | 2 |
| 3 | 0011 | 3 |
| 4 | 0100 | 4 |
| 5 | 0101 | 5 |
| 6 | 0110 | 6 |
| 7 | 0111 | 7 |
| 8 | 1000 | 8 |
| 9 | 1001 | 9 |
| 10 | 1010 | A |
| 11 | 1011 | B |
| 12 | 1100 | C |
| 13 | 1101 | D |
| 14 | 1110 | E |
| 15 | 1111 | F |
Exemple : Convertir 110101102 en hexadécimal
Groupez par 4 bits : 1101 0110
11012 = D16
01102 = 616
Résultat : D616
Règles :
Exemple : 1011 + 0110
1011 + 0110 ------ 10001
Vérification : 11 + 6 = 17 ✓
Règles :
Informatique :
Électronique numérique :
| Unité | Symbole | Valeur | Bits |
|---|---|---|---|
| Bit | b | 1 bit | 1 |
| Octet (Byte) | B ou o | 8 bits | 8 |
| Kilooctet | Ko | 1024 octets | 8 192 |
| Mégaoctet | Mo | 1024 Ko | 8 388 608 |
| Gigaoctet | Go | 1024 Mo | 8 589 934 592 |
| Téraoctet | To | 1024 Go | 8 796 093 022 208 |
| Décimal | Binaire | Hexadécimal | Utilisation |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | Faux, Éteint |
| 1 | 1 | 1 | Vrai, Allumé |
| 8 | 1000 | 8 | 1 octet |
| 16 | 10000 | 10 | Bits dans un mot |
| 32 | 100000 | 20 | Bits système 32-bit |
| 64 | 1000000 | 40 | Bits système 64-bit |
| 127 | 1111111 | 7F | Max 7 bits signé |
| 255 | 11111111 | FF | Max 8 bits (1 octet) |
| 256 | 100000000 | 100 | Valeurs dans 1 octet |
| 1024 | 10000000000 | 400 | 1 Ko |
En informatique, on utilise des puissances de 2. 2¹⁰ = 1024, ce qui est proche de 1000. C'est pourquoi 1 Ko = 1024 octets et non 1000 octets. Cette convention vient du fait que les ordinateurs travaillent en base 2.
Un bit (b) est la plus petite unité d'information, valant 0 ou 1. Un octet (B ou o en français, byte en anglais) est un groupe de 8 bits. Par exemple, 1 Mo = 8 Mb.
L'hexadécimal utilise les chiffres 0-9 et les lettres A-F (pour 10-15). On préfixe souvent par "0x" : 0xFF = 255. En programmation, les couleurs web utilisent l'hexadécimal : #FF0000 = rouge pur.
Oui, avec plusieurs méthodes. La plus courante est le complément à deux : le bit de poids fort indique le signe (0 = positif, 1 = négatif). Pour obtenir -x, on inverse tous les bits de x puis on ajoute 1.
Avec n bits, on peut représenter 2ⁿ valeurs différentes. Exemples :